MODELO+DE+PROGRAMACIÓN+LINEAL

En el anterior capítulo sobre la planificación de la producción, pudimos observar que pueden utilizarse diferentes técnicas para llevarla a cabo de forma satisfactoria. Estos procedimientos de ayuda a la decisión pueden clasificarse según diferentes criterios, en este caso nos fijaremos en dos grandes grupos: las técnicas de simulación y las técnicas de optimización. Ambos tipos de técnicas están orientadas al cálculo y minimización del coste total del plan de producción.

Las **técnicas de simulación** intentan determinar las relaciones entre las variables del plan de producción (producciones y recursos). Conocidas estas relaciones, la técnica trata de dar respuesta al tipo de preguntas "¿qué pasa si...?". Es decir, qué pasaría con el consumo de los diferentes recursos y con el nivel de existencias, y, en consecuencia, con el coste total, si se fabricara más en un mes y menos en el siguiente, o si se contrata mano de obra eventual para hacer frente a las necesidades de producción de un determinado período, etc. Estas distintas posibilidades se traducen en diferencias de coste de los diversos planes alternativos. Se trata de establecer, mediante sucesivas preguntas de esta naturaleza, el plan de producción que, cumpliendo los objetivos de producción establecidos, tenga menor coste total. La utilización de las hojas de cálculo de los ordenadores ha facilitado considerablemente el empleo de estas técnicas.

No obstante, las técnicas de simulación son poco útiles cuando en el sistema de producción existen condiciones o restricciones complicadas: capacidad limitada de algunas secciones, imposibilidad de disponer de más componentes adquiridos en el exterior, etc. En estos casos resulta más conveniente la utilización de las **técnicas de optimización**, que intentan minimizar la función de costes totales (o maximizar la función de beneficios) sujeta a una serie de restricciones que necesariamente se han de cumplir. Entre estas técnicas de optimización la más utilizada es la programación lineal.

La **programación lineal** o programación económica de la producción pretende optimizar una función lineal, maximizándola o minimizándola, denominada función objetivo, sujeta a una serie de restricciones, que son normalmente limitaciones existentes en el sistema productivo. Así, la **función objetivo** o función de rendimiento resulta:

En ella //Cj// es el rendimiento unitario o el beneficio que deja el proceso //j// cuando se realiza una vez; el nivel de realización de un proceso //Xj// es el número de veces que se lleva a cabo. Los niveles de realización de los diferentes procesos constituyen las incógnitas del problema. La maximización de //Z// está sujeta a las **restricciones**:

y dado que las cantidades producidas no pueden ser negativas, también han de cumplirse las **condiciones de no negatividad**: el vector

se denomina **vector de existencias**, representando bj el número de unidades disponibles del factor productivo //j//. La matriz tecnológica es:

y sus elementos representan la cantidad de factor //i// utilizado en el proceso j, cuando se utiliza a nivel unitario. Cada **proceso** está definido por las cantidades que utiliza de cada factor productivo, y está representado por el vector:

Para la resolución de este problema existen varios métodos, de los cuales el más conocido es el método simplex o de Dantzig, siendo también de utilidad para la programación de la fabricación en talleres mecánicos la resolución gráfica del problema. Veamos un **ejemplo** con el que relacionar las generalizaciones del modelo de programación lineal con un caso práctico. Para ello supongamos una empresa que se dedica al montaje y comercialización de videos y televisores. En su montaje necesita adquirir los transformadores de tensión que llevan incorporados ambos productos y procede a determinados ajustes para acoplarlos en uno y otro electrodoméstico. Las actividades del proceso productivo son de tres tipos y se encuentran agrupadas en tres talleres distintos.

El taller de ajuste de los transformadores tiene capacidad, en el horizonte de planificación considerado (que puede ser un mes, un trimestre, un año, etc.), de ajustar 150 transformadores, con independencia de ser utilizados en la fabricación de televisores o videos. El taller de montaje se dedica al ensamblaje de los diferentes componentes que integran los productos. Este taller tiene una capacidad de trabajo, en el mismo horizonte considerado, de 200 horas, necesitando el montaje de un televisor una hora y el montaje de un video, dos. Finalmente, en la sección de acabado se realizan las últimas operaciones antes de que el producto pueda ser comercializado. La sección de acabado tiene una capacidad de 600 horas, requiriendo el acabado de un televisor tres horas y el de un video cuatro horas. respecto a la demanda no existen limitaciones, pudiendo vender la empresa todos los productos que fabrique. El precio de venta de un televisor es de 300 € y sus costes totales de fabricación de 280 €, mientras que un video se comercializa al precio de 360 € con unos costes por unidad de 330 €.

La empresa trata de conocer cuál es el plan de producción que permite obtener un programa óptimo. Es decir, se trata de determinar cuántos productos se fabricarán de cada tipo de forma que, respetando las restricciones de capacidad señaladas, se obtenga el máximo beneficio.

Una vez planteado el ejemplo y sabiendo que un **proceso productivo** ( //Pj// ) es la transformación, según una táctica dada, de factores de producción en productos, el proceso productivo se representa mediante un vector, matriz columna, cuyos elementos serían los consumos de cada uno de los factores productivos limitados, necesarios para obtener un producto. Así, la obtención de un televisor exige el ajuste de un transformador, una hora de montaje y tres de ensamblado. Por su parte, un video requiere un transformador, dos horas de montaje y cuatro de ensamblado. Los respectivos vectores proceso serían:

El **nivel** de un proceso ( //Xj// ) será el número de veces que se repite dicho proceso. Se de un proceso se obtiene un producto o componente, el nivel de ese proceso indicará el número de productos o componentes obtenido. El consumo de factores productivos limitados que supone la realización de esa cantidad de productos será igual al producto del vector proceso por el nivel del mismo. Por ejemplo, si fabricamos 10 televisores se habrán consumido 10 transformadores, 10 horas de la sección de montaje y 30 horas de acabado. Lógicamente, se han de cumplir las condiciones de no negatividad, pues el nivel de un proceso sólo podrá tomar valores positivos o nulo.

Se denomina **rendimiento directo** de un proceso ( //Cj// ) al beneficio (o coste) obtenido cuando se realiza dicho proceso una sola vez. En nuestro ejemplo el rendimiento del proceso que da como resultado la obtención de un televisor proporciona un beneficio, cada vez que se realiza, de 20 €. La programación lineal considera, como principio básico de la misma, que el rendimiento de un proceso es directamente proporcional al nivel del mismo (hipótesis de linealidad). Es decir, si el proceso se repite //Xj// veces, su rendimiento vendrá dado por el producto de //Xj// por //Cj//.

El **programa** de producción es el plan de producción diseñado por la empresa que supone la realización de una serie de procesos situados a ciertos niveles. Un programa de producción para nuestro ejemplo sería la realización de 75 televisores y 50 videos. El rendimiento de un programa sería la suma de los productos de los rendimientos unitarios de los procesos que forman dicho programa por los niveles de utilización correspondientes. El rendimiento del programa señalado sería igual a:

Volviendo a nuestro ejemplo, el problema planteado podría ser expresado matemáticamente de la forma siguiente, suponiendo que //X1// y //X2// representan los niveles de los procesos productivos, //P1// y //P2//, a realizar para obtener un televisor y un video. En este caso //X1// y //X2// representan también el número de cada tipo de producto a fabricar ya que cada vez que se realiza un proceso se obtiene un producto.

La empresa desea optimizar, en este caso maximizar, una **función objetivo** que expresa los beneficios que se obtienen por realizar los diferentes procesos:

sometida a una serie de **restricciones** que vienen determinadas por los factores productivos limitados existentes, en este caso las capacidades de las distintas secciones:

A estas restricciones habría que añadir las correspondientes a la no negatividad de los niveles:

Así pues, el **modelo** de programación lineal estaría constituido por la función objetivo y las restricciones señaladas. El problema consiste en encontrar un programa de producción que, satisfaciendo las restricciones señaladas, permitiera obtener el máximo beneficio.

El modelo de programación lineal supone una estructura dada del sistema productivo, estructura que no puede ser modificada durante el horizonte de planificación. Implica también algunas hipótesis discutibles (por ejemplo, la hipótesis de linealidad) y constituye un modelo muy simplificado de la realidad, que no tiene en cuenta las complejas relaciones que existen en ella. No obstante, la modelización del problema requiere un proceso de reflexión que es muy útil para comprender esa realidad. Además, la programación lineal proporciona adecuados resultados a numerosos problemas de planificación de la producción, así como a problemas de otras áreas de la empresa; resultados que pueden ser utilizados para posteriores ajustes.