RESOLUCIÓN+GRÁFICA+DEL+PROBLEMA

Como su nombre indica, este método consiste en encontrar el plan de producción óptimo mediante la representación gráfica de la función objetivo y las diferentes restricciones (inecuaciones) que componen un problema de programación lineal. Para su explicación nos apoyaremos en el ejemplo que hemos propuesto.

El método consiste en determinar gráficamente los valores de //X1// y de //X2// que cumplen las restricciones ya señaladas, y de ese conjunto de valores seleccionar aquellos que permiten maximizar la función objetivo.

La representación gráfica se realiza sobre unos ejes de coordenadas, donde los ejes representan los niveles de los procesos considerados. En estos ejes de coordenadas sólo consideramos los valores situados en el primer cuadrante, debido a la restricción de no negatividad impuesta. Para la **representación de las inecuaciones** partimos del caso extremo de las mismas, es decir, de la situación de igualdad. La igualdad de la restricción da lugar a la ecuación de una recta que puede ser representada sin dificultad en el plano. La primera restricción corresponde a la limitación que impone la capacidad de la sección de ajuste. La figura 5.1. representa la recta correspondiente a esa ecuación. Cualquier par de valores del semiplano situado por encima de esa recta no cumplirá la restricción establecida y, por tanto, no pueden constituir un programa de producción factible porque consumiría más recursos de los disponibles. Los valores que satisfacen la restricción serán los situados tanto sobre las recta como sobre el semiplano del primer cuadrante por debajo de dicha recta.


 * FIGURA 5.1.** //Representación de la inecuación//

El mismo razonamiento seguimos para las otras dos restricciones, cuyas rectas correspondientes y los valores factibles aparecen recogidos en la figura 5.2. en la medida que el plan o programa de producción buscado debe cumplir las tres restricciones o inecuaciones simultáneamente, los valores que cumplen esta condición se sitúan en el área o en su contorno es una solución factible al problema planteado pues permite satisfacer las tres restricciones establecidas. Así, por ejemplo, si el programa de producción elegido se situara en el punto A, esto implicaría producir 100 unidades de //X2// (videos) y ninguna de //X1// (televisores); el programa consumiría toda la capacidad de los talleres de ajuste y de montaje, quedando un tiempo ocioso en el taller de acabado de 200 horas. El beneficio que se obtendría con ese programa sería de 3000 € (100 videos × 30 €). Lo que se trata de determinar ahora es el programa de producción o par de valores de ese polígono que proporciona el máximo beneficio.


 * FIGURA 5.2.** //Zona de valores factibles//

La figura anterior pone de manifiesto que la zona factible de valores (OABC) no ha sido delimitada por la recta correspondiente a la tercera restricción, que se sitúa por encima de la misma. Esto significa que la capacidad de la sección de acabado no está limitando la producción que la empresa puede alcanzar, siendo las otras dos restricciones condiciones más estrictas. Para encontrar el programa óptimo o plan que maximiza el beneficio, es preciso tener en cuenta la función objetivo. Esta función representa una familia de rectas que tienen la misma pendiente, es decir, una serie de rectas paralelas. La función objetivo puede escribirse de la siguiente forma:

Si //Z´// vale cero tendremos una recta que pasa por el origen de coordenadas. A medida que //Z´// va tomando valores positivos cada vez mayores, las rectas se alejan del origen de coordenadas. Como muestra la figura 5.3., esa solución óptima se sitúa en el punto //B//. Cualquier otro punto de la poligonal es cortado por una recta que se sitúa más próxima al origen de coordenadas.


 * FIGURA 5.3.** //Solución gráfica de un problema de programación lineal//

El punto //B// es el punto de corte o intersección entre las rectas o ecuaciones correspondientes a la primera restricción de la sección de ajuste, con la segunda restricción de la sección de montaje. Al resolver esas dos ecuaciones los valores que representa el programa óptimo serían //X1//=100 y //X2//=50. Es decir, la empresa fabricaría 100 televisores y 50 videos y consumiría toda la capacidad de las secciones de ajuste y montaje, existiendo una capacidad ociosa en el taller de acabado de 100 horas. Este programa de producción proporcionaría a la empresa unos beneficios totales de 3500 € (100 televisores × 20 € + 50 videos × 30 €).

La solución óptima puede no ser un punto concreto de la poligonal que envuelve a la zona de soluciones factibles, sino un segmento de dicha poligonal. Si los televisores y videos hubieran proporcionado el mismo beneficio unitario, la ecuación objetivo sería:

En este caso la recta más alejada de la función objetivo coincidiría con la correspondiente a la primera restricción del problema planteado, y la solución óptima podría ser cualquiera de los puntos del segmento delimitado por los puntos //B// y //C//. Estaríamos en presencia de lo que se denominan **soluciones alternativas**, es decir, diferentes programas de producción que proporcionan el máximo beneficio cumpliendo las restricciones del problema.

También podría haber ocurrido que la solución óptima coincidiera con uno de los puntos de la poligonal situados sobre los ejes de coordenadas (puntos //A// y //C//). En esta situación, el programa óptimo estaría constituido por un solo proceso, es decir, la empresa fabricaría únicamente televisores o videos. Este tipo de soluciones se conocen con el nombre de **soluciones degeneradas**.

Como puede observarse, el método gráfico es relativamente simple y permite encontrar con rapidez el programa de producción óptimo. Sin embargo, este procedimiento tiene el inconveniente de que sólo puede aplicarse cuando existen dos procesos productivos. Con tres procesos la representación habría que realizarla en el espacio y el procedimiento se complica notablemente, con más de tres procesos la aplicación de este método resulta inviable. Ante esta dificultad se han desarrollado procedimientos analíticos para resolver el problema de programación lineal. Entre ellos el más conocido es el método simplex.