CAP+6

La técnica más antigua para la programación y control de actividades es la conocida como **gráfico de Gantt.** El gráfico de Gantt representa las actividades de un proyecto en unos ejes de coordenadas. En el eje horizontal se recoge el tiempo y en las ordenadas las distintas actividades que componen el proyecto. Estas actividades se representan mediante segmentos cuyas longitudes son proporcionales a sus duraciones. El extremo inferior del segmento correspondiente a una determinada actividad se sitúa en la fecha prevista de comienzo de la misma. La duración total del proyecto coincidirá con la finalización de la actividad más alejada del eje de coordenadas. Un ejemplo permitirá comprender mejor este método. Para ello partiremos de que el trabajo de una semana se ha previsto de la siguiente forma:
 * 6.1. EL GRÁFICO DE GANTT.**


 * TABLA 6.1.** //Trabajo previsto//

Y que el trabajo ejecutado realmente durante la semana ha sido:

Estos resultados llevan a la figura 6.1. En ésta, se raya una hoja de papel dividiéndola en espacios iguales, que representan los días, si la dividimos en cuatro espacios, estará representando cada uno de ellos un 25% de la jornada, y la cantidad de trabajo que se ha previsto se coloca en cifras en la parte izquierda del espacio que representa cada ida, en la parte derecha se indica en cifras la cuantía cumulativa de la producción programada.
 * TABLA 6.2.** //Trabajo realizado//
 * FIGURA 6.1.** //Gráfico de Gantt de un proyecto//



El trabajo realizado se expresa por la longitud de una línea azul más fina, la cual, comparada con la longitud de espacio que designa un período de producción, nos indica la proporción de trabajo programado que realmente se realiza. La línea roja más gruesa indica el trabajo acumulado que se va haciendo a lo largo de la semana, arrancando desde el origen de la semana. Los diagramas de Gantt pueden clasificarse en función de las unidades de producción sobre las que se aplican. De esta manera, podemos obtener la siguiente **clasificación**: > - Diagrama de trabajo de las máquinas. > - Diagrama del trabajo de los operarios. > - Diagrama de pedidos. > El gráfico de trabajo de las máquinas indica el tiempo perdido en las máquinas y sus causas, igualmente, el de trabajo de los operarios es similar al primero, sustituyendo estas por los operarios. Tienen como objetivo poner de manifiesto si las unidades correspondientes hacen o no el trabajo normal de la jornada, y en caso de no cumplirlo, las causas.

En el lado izquierdo del gráfico se anotan las unidades, ya sean maquinaria, operarios o pedidos, dejando al comienzo un espacio para el conjunto total de unidades de la sección correspondiente, y otros espacios para el conjunto de secciones al principio de cada una de ellas.

La realización de estos diagramas de unidades se realiza de forma análoga a la ya explicada, aunque cuenta con una nomenclatura para señalar las causas de interrupciones y anomalías que se pueden producir. Esta anotación se adapta al tipo de unidad que esté bajo seguimiento y a los casos particulares característicos de los puestos en los que se utilice. La siguiente es la propuesta por Gantt para el diagrama de trabajo de las máquinas: De esta forma se resaltan las causas de paradas de las maquinas e indica quien es el responsable, ello permite al jefe de sección eliminar dicha inactividad. Utilicemos un ejemplo para realizar un diagrama de trabajo de las maquinas, para un pedido que dura tres días, con la siguiente previsión y trabajo ejecutado:
 * E = || Espera para preparación. ||
 * H = || (Help) Ayuda insuficiente. ||
 * M = || Material insuficiente o inadecuado. ||
 * Q = || Falta de pedido. ||
 * P = || (Power) Falta de fuerza motriz. ||
 * R = || Reparaciones. ||
 * T = || (Tools) Herramientas inadecuadas. ||
 * V = || Vacaciones o fiestas. ||
 * TABLA 6.3.** //Trabajo de las máquinas//

A partir de estos datos obtendremos el diagrama de Gantt que se observa en la figura 6.2.


 * FIGURA 6.2.** //Diagrama de trabajo de las máquinas//



El método PERT, al igual que el grafo Gantt, parte de la división del proyecto en un conjunto de trabajos individuales que reciben el nombre de actividades. Una **actividad** es cualquier operación o tarea que es necesario ejecutar para la realización de un proyecto.
 * 6.2. LA CONSTRUCCIÓN DEL GRAFO PERT.**

Las técnicas de programación y control de proyectos suelen utilizar la teoría de grafos para la representación y análisis de los proyectos. Un grafo puede definirse a partir de dos conjuntos. Uno de ellos está constituido por una serie de puntos del plano que llamaremos **vértices o nudos**. El segundo representa las relaciones entre los vértices, relaciones que se expresan mediante **arcos o flechas** entre los nudos del grafo. En el grafo PERT las actividades se representan a través de los arcos o flechas, mientras que los nudos o vértices son las etapas del proyecto. Es necesario apuntar que la longitud de los arcos no tiene ninguna relación con la duración de las actividades.

El principio fundamental del método PERT puede resumirse del modo siguiente: Para que la ejecución de una actividad siguiente a una etapa, es decir, que sale de dicha etapa, pueda ser comenzada, es preciso que todas las actividades que la preceden, es decir, que finalizan en dicha etapa, hayan sido terminadas.
 * FIGURA 6.3.** //Ejemplo de grafo PERT//

Aplicando este principio al ejemplo de la figura 6.3. vemos que la actividad E ( 2,4 ) no puede ser iniciada hasta que no se haya finalizado la actividad B. Igualmente, la actividad D no puede comenzar hasta no haber terminado las actividades A ( 1,3 ) y C ( 2,3 ). Esta última actividad exige para su comienzo la finalización de la actividad B ( 1,2 ). Estas relaciones indican las **prelaciones** que existen entre las actividades, es decir, el orden en que deben ejecutarse las operaciones del proyecto.

Las prelaciones entre actividades pueden ser en serie o en paralelo. El primer caso se presenta cuando para poder iniciar una actividad es necesario que haya finalizado previamente una única actividad, la precedente. La figura 6.4. muestra una disposición en serie de las actividades. El comienzo de la actividad C exige la finalización de la actividad B, la cual sólo podrá iniciarse cuando se haya terminado la actividad A.


 * FIGURA 6.4.** //Disposición en serie de las actividades//

Las disposiciones en paralelo se producen cuando para iniciar una determinada actividad es preciso que se hayan terminado previamente más de una actividad, tal como se muestra en la figura 6.5. Igualmente, encontramos una prelación en paralelo cuando para poder iniciar un conjunto de actividades es necesario que se haya finalizado con anterioridad una sola actividad.


 * FIGURA 6.5.** //Disposición en paralelo de las actividades//

Cada actividad tiene que tener una designación ( i,j ) única, es decir, no pueden existir dos actividades, dos arcos en el mismo grafo que tengan las mismas etapas inicial y final. Para respetar esta regla se introducen en el grafo las denominadas **actividades ficticias**, que se representan mediante flechas de trazo discontinuo (figura 6.6.) Estas actividades no existen en la realidad y constituyen meros artificios para respetar la regla de designación unívoca de las actividades y para establecer correctamente la prelación entre actividades. Por tanto, las actividades ficticias no suponen consumo de recursos ni de tiempo.


 * FIGURA 6.6.** //Actividades ficticias en el grafo PERT//

Para representar correctamente las prelaciones entre las actividades del proyecto suele ser pertinente recurrir a una **tabla de precedencias**. En dicha tabla se indican, para cada actividad, cuáles son las actividades inmediatamente siguientes e inmediatamente anteriores. Para ilustrar las reglas y principios que hemos venido señalando consideremos el siguiente ejemplo.

Para la realización de un proyecto es necesario realizar 10 actividades, nombradas con las primeras diez letras del abecedario. Las relaciones de precedencia entre las tareas son las siguientes:

> || - || Para comenzar las actividad D es necesario que previamente se hayan finalizado las actividades A, B, y C. || > || - || Sólo una vez concluidas las actividades B y C podrá iniciarse la actividad E. || > || - || Para poder comenzar las actividades G y H es preciso que se hayan concluido las actividades D y E. || > || - || La actividad C es inmediatamente anterior a la F. || > || - || La actividad I sólo podrá comenzar una vez finalizadas las actividades F y H. || > || - || La actividad G es inmediatamente anterior a la actividad J. || En función de estas relaciones entre actividades, podemos construir la siguiente tabla de precedencias:
 * TABLA 6.4.** //Tabla de precedencias//

A partir de esta tabla de precedencias es posible elaborar el grafo PERT que modelice el proyecto que estamos considerando. Este grafo aparece recogido en la figura 6.7.

En esta figura se pone de manifiesto la necesidad de utilizar dos actividades ficticias para poder mantener el principio de designación unívoca de las actividades y para respetar el orden de precedencia de las actividades.


 * FIGURA 6.7.** //Grafo PERT del ejemplo propuesto//



Las actividades de un proyecto se caracterizan por el consumo de tiempo, es decir, las distintas tareas tienen una duración que es preciso estimar. Normalmente, la duración de las actividades no puede fijarse con exactitud, pues depende de una serie de circunstancias cuya presencia no puede conocerse con antelación. Así, por ejemplo, el tiempo de cimentación de un edificio depende de las condiciones climatológicas y de otras circunstancias. Estas condiciones tienen un carácter aleatorio y, en consecuencia, la duración de las actividades es una variable aleatoria. El método PERT aborda el carácter aleatorio de las duraciones de las actividades considerando para cada tarea tres duraciones: tiempo optimista, tiempo más probable y tiempo pesimista. > * El **tiempo optimista** ( to ) sería el tiempo mínimo en que se podría realizar la actividad si las condiciones de ejecución de la misma fueran excepcionalmente buenas, no produciéndose ningún tipo de contratiempo durante la realización de la tarea. > * El **tiempo más probable** ( tm ) representa el tiempo que se tardaría en realizar la actividad en condiciones normales. Es el tiempo que se emplearía en la mayoría de los casos si se ejecutara la actividad un elevado número de veces. > * El **tiempo pesimista** ( tp ) es el tiempo máximo que se emplearía en ejecutar la actividad en condiciones excepcionalmente desfavorables, produciéndose todo tipo de contratiempos. La **duración de la actividad** ( te ), que se emplearía en el cálculo de la duración del proyecto, se obtiene a partir de la siguiente expresión: La construcción del grafo PERT y la asignación de las duraciones a las distintas actividades permite entrar en la siguiente fase del método PERT. Esta fase consiste, por un lado, en el cálculo de los tiempos de las etapas que permitirán conocer la duración total del proyecto, y, por otro lado, en la determinación de los márgenes de las actividades.
 * 6.3. LA PROGRAMACIÓN MEDIANTE EL MÉTODO PERT.**

Para cada una de las etapas del proyecto se calculan dos tipos de tiempos: el tiempo early o fecha más temprana de una etapa y el tiempo last o fecha más tardía de un sucesos.

El **tiempo early** ( TE ) de una etapa es el tiempo mínimo necesario para alcanzar dicha etapa, es decir, es la fecha o momento (contado desde el inicio del proyecto) en que todas las actividades que terminan en dicha etapa han sido finalizadas. Teniendo en cuenta el principio fundamental del método PERT, el tiempo early representa la fecha más temprana en que pueden iniciarse las actividades que parten de una determinada etapa. El cálculo de este tiempo se realiza de la siguiente forma: Para todas las actividades que terminan en la etapa j, el TE ( j ) de dicha etapa será la mayor de las sumas TE ( i ) + te ( i, j ).

El **tiempo last** de una etapa ( TL ) es la fecha máxima o más tardía en la cual dicha etapa debe ser alcanzada para que el proyecto pueda ser concluido en el plazo fijado. Este plazo viene determinado por el tiempo early de la última etapa del proyecto. Si alguna actividad que finaliza en una etapa se termina después del tiempo last de dicha etapa, el proyecto entero se retrasará en la misma cuantía. Para el cálculo de los tiempos last de las etapas de un proyecto se comienza por la última etapa del mismo; en esta última etapa, el tiempo last coincide con el tiempo early. El cálculo se realizaría de la siguiente forma: Para todas las actividades que comienzan o parten de la etapa i, el TL ( i ) de dicha etapa será igual a la menor de las diferencias TL ( j ) - te ( i, j ). Para ilustrar el cálculo de los tiempos early y last de las etapas consideremos el ejemplo que propusimos en el epígrafe anterior. Las duraciones de las actividades ( te ) aparecen recogidas en la siguiente tabla:


 * TABLA 6.5.** //Duración de las actividades//

Las duraciones de las actividades se representan entre paréntesis encima de cada uno de los arcos del grafo. Los tiempos early y last de cada etapa se colocan sobre cada uno de los nudos o vértices del grafo. La figura 6.8. recoge la programación de las distintas actividades del ejemplo que venimos considerando. El método de cálculo de los tiempos early y last de las etapas resulta relativamente sencillo cuando el grafo no es muy complicado. Por el contrario, si el proyecto implica la realización de muchas actividades estrechamente relacionadas, esta forma de cálculo manual puede ser muy tediosa. Por este motivo, Zaderenko propuso un método matricial para el cálculo de los tiempos de las etapas que puede aplicarse tanto a grafos simples como complicados. La operatoria es muy sencilla y la explicaremos utilizando el ejemplo que venimos desarrollando.


 * FIGURA 6.8.** //Cálculo de los tiempos early y last en el ejemplo propuesto//



Para la aplicación del método se construye una matriz cuadrada con tantas filas y columnas como vértices o nudos existan en el grafo; en nuestro caso el número de vértices es de 8. A esta matriz se le añade una columna y una fila adicionales, que recogerán los valores de los tiempos early y last de las distintas etapas. En la casilla ( i,j ) de la matriz se indica la duración de la actividad ( i,j ), en caso de que exista. Lógicamente, sólo aparecerán números en las casillas situadas por encima de la diagonal principal de la matriz, pues no es posible que existan actividades ( i, j ) cuando j > i. Para nuestro ejemplo, la matriz de Zaderenko sería la siguiente:
 * TABLA 6.6.** //Matiz de Zaderenko//

Los valores del tiempo early de cada etapa se expresan en la primera columna de la matriz. El primer valor de esa columna se el cero, pues ése es el tiempo early de la primera etapa del proyecto. Para el cálculo de los tiempos early de las demás etapas se opera de la siguiente forma: se toma la columna correspondiente a la etapa cuyo tiempo early estamos calculando; a los valores que aparecen en dicha columna (duraciones de las actividades que finalizan en dicha etapa) se les suma el valor calculado en la columna adicional para las filas correspondientes (tiempos early de las etapas donde comienzan esas actividades); el tiempo early de la etapa que estamos calculando será la mayor de esas sumas. Supongamos que queremos determinar el tiempo early de la etapa 6. Para ello, tomamos la columna correspondiente a dicha etapa y consideramos los valores que aparecen en la misma: el valor 10 en la casilla ( 2,6 ) y el valor 8 en la casilla ( 5,6 ). Sumamos esos valores a los que aparecen en la columna adicional de tiempos early para las filas correspondientes (filas de las etapas 2 y 5). Las sumas obtenidas son (10 + 5) y (8 + 15). Por tanto, el tiempo early de la etapa 6, que escribiremos en la primera columna, será el mayor de los resultados de esas dos sumas; en nuestro caso, el valor 23. El cálculo de los tiempos early se realiza de forma iterativa comenzando por la primera etapa y continuando por las sucesivas.

Los valores de los tiempos last se situarán en la última fila de la matriz. El tiempo last de la última etapa (etapa 8) coincidirá con el tiempo early de la misma; es decir, en nuestro caso el tiempo last de la última etapa será 36. El cálculo de los restantes tiempos last se realiza de la siguiente forma: Se toma la fila correspondiente a la etapa cuyo tiempo last estamos calculando y se restan los valores que aparecen en esa fila (que corresponden a las duraciones de las etapas que parten de dicha etapa) de los valores que aparecen en la fila adicional para las columnas correspondientes (tiempos last de las etapas en las que finalizan esas actividades). El tiempo last de la etapa será menor de esas diferencias. Calculemos, por ejemplo, el tiempo last de la etapa 5. Para ello, consideremos la fila correspondiente a dicha etapa y restemos los valores que aparecen en ella, es decir, los valores 8 (duración de la actividad ( 5,6 ) ) y 12 (duración de la tarea ( 5,7 ) ) de los valores que aparecen, para sus correspondientes columnas, en la última fila adicional, esto es, los valores 26 (tiempo last de la etapa 6) y 27 (tiempo last de la etapa 7). Las diferencias son (26 - 8) y (27 - 12). El tiempo last de la etapa 5 será la menor de esas diferencias y ese valor lo escribiremos en la última fila, en la columna correspondiente a dicha etapa.

Como ha podido comprobarse, la matriz de Zaderenko constituye un método sencillo y rápido de calcular los tiempos de las etapas, con la ventaja adicional de poder ser programado con facilidad para su cálculo a través de ordenador.